domingo, 7 de noviembre de 2010

optimizacion

OPTIMIZACIÓN 1

En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

Donde $x = (x 1,..., x n)$ es un vector y representa variables de decisión, $f (x)$ es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y $Ω$ es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.
Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones $Ω$ como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.

EJEMPLO
El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función:

B(x)= 1.2x − (0.1x)³

donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.

1. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.

opttimización 2

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables:

2x + 2y = 12

x = 6 − y

Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

puntos críticos: máximos, mínimos, inflexión

Máximos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))

Mínimos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).
Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

Punto de inflexión
Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.
Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx. o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).
Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.

En F(x) = x4 - 4•x2 = x2•(x2 - 1) puede observarse que su derivada:
F'(x) = 4•x3 - 8•x = 4•x•(x2 - 2) presenta un máximo y un míninimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión.

Función creciente y/o decreciente.

Creciente en xo si para x > xo F(x) ≥ F(xo) ► F ' (xo) ≥ 0

ya que:

F(x) - F(xo)

F'(xo) = Lim
————————

≥ 0
x → xo
x - xo

Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es positiva; F '(xo) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).

Decreciente en xo si para x > xo F(x) ≤ F(xo) ► F ' (xo) ≤ 0

Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es negativa; F '(xo) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa)

Criterio de la segunda derivada

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)

Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c y además:

a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

a).- Si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0 y f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

criterio de la primera derivada

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a<c<b tales que

1.- f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

derivacion en cadena

Derivación en Cadena

Descripción de la regla

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En boxes los términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si $f\,$ es diferenciable en $x\,$ y $g\,$ es una función diferenciable en $f(x)\,$ , entonces la función compuesta $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ es diferenciable en $x\,$ y

$(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)$

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

$\frac {dg}{dx} = \frac {dg} {df} \frac {df}{dx}$

donde $\frac {dg} {df}$ indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraica

Por ejemplo si $y = f(u)$ es una función derivable de $u$ y si además $u = g(x)$ es una función derivable de $x$ entonces $y = f(g(x))$ es una función derivable con:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

o también

$\frac{d}{dx} [f(g(x))]=f '(g(x))\cdot g'(x)$

Ejemplo 1

$y = \ln {u} \,$

$u = \cos {x} \,$

y queremos calcular:

$\frac{dy}{dx} \,$

Por un lado tenemos:

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} \,$

$\frac{du}{dx} = - \sin{x} \,$

si:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

entonces:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (- \sin{x}) = \frac{- \sin{x}}{u} = \frac{- \sin{x}}{\cos {x}} = -\tan{x}$

Si definimos como función de función:

$y = \ln {u} \,$

$u = \cos {x} \,$

resulta que:

$y = \ln ({\cos {x}}) \,$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}$

con el mismo resultado.

Derivación implícita

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entrex yy por medio de una ecuación no resuelta paray, entoncesy se llama función implícita dex.

tipos de derivadas

Aquí voy a explicar un poco los diferentes casos de las derivas.

La derivada de una función constante: es cero (0).

Ejm:

1)f (x)=4

f ´(x)=0

2)f (x)=123

f ´(x)=0

Derivada exponencial: Es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejm:

1)f(x)= 5x³

f´(x)= 3*5x^3-1

f´(x)=15x²

2)f(x)= 2x⁵⁶²

f´(x)= 562*2x^562-1

f´(x)=1124x⁵⁶¹

Derivada de una raíz: Es colocar el índice de la raíz como denominador de una función exponencial y se resuelve como si fuera una derivada de tipo exponencial y se multiplica por la derivada de la base.

Ejm:

y= Raíz cubica de x⁵ --------------- x^5/3

y´= 5/3*x^5/3-1*1(Uno es la derivada de la base).

Derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Y=u/v^32.---------------------- y´= u´*v-u*v´/v²

· y= (5x²-x)/ (3x⁴-2)

y´= (10x-1)*(3x⁴-2)-(5x²-x)*(12x³)/(3x⁴-2)² R/

· y= (3x²+4)³/(5x³-x)

y´=3(x²+4)²(6x)*(5x³-x)-( 3x²+4)³*(15x²-1)/(5x³-x)²

Derivación en cadena: Sea f(x)= f(g(x)) ^{________________}f´(x)=f´(g(x))*g´(x)

y= Raíz cuadrada de 3x²-1

y= (3x²-1)^1/2

y= ½(3x²-1)^1/2-1*6x

y= 3x*(3x²-1)^1/2

sábado, 6 de noviembre de 2010

SOLUCION PROBLEMA

miércoles, 20 de octubre de 2010

MALLA

GRADO: ONCE

PERIODO: PRIMERO

INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales

DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

Desigualdades e Inecuaciones.

Axiomas de orden en R.

Intervalos.

Propiedades de las desigualdades

Problemas.

VALOR ABSOLUTO.

Definición.

Propiedades.

Ejercicios

FUNCIONES.

Definición.

Funciones básicas

Dominio, Rango

Problemas de la vida.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar

dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera

flexible y eficaz.

Resolver inecuaciones por el método del cementerio

Y el método analítico.

Resolver ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.

Aplicar la definición de función a diferentes relaciones.

Resolver problemas que involucran funciones.

Resuelve inecuaciones por el método del cementerio

Y el método analítico.

Resuelve ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.

Aplica la definición de función a diferentes

Resuelve problemas que involucran funciones.

1. La solución de inecuaciones por el método del cementerio

Y el método analítico.

2. La solución de ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.

3. La aplicación de la definición de función a diferentes

relaciones

4. La solución a problemas que involucran funciones.

El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita

GRADO: ONCE

PERIODO: SEGUNDO

INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales

DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

Transformación de funciones.

Desplazamientos

Verticales.

Desplazamiento horizontal.

Reflexión.

Estiramiento y acortamiento vertical.

Acortamiento y alargamiento horizontal.

Función par e impar.

Dominio, Rango.

Interceptos.

Función uno a uno

Y sobre.

Función Inyectiva.

Función Inversa.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar

dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera

flexible y eficaz.

Graficar funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión.

Determinar el Dominio, el Rango y los intersectos de una función.

Identificar, clasificar una función en par o impar.

Identificar si una función tiene inversa y calcularla.

Grafica funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión.

Determina el Dominio, el Rango y los intersectos de una función.

Identifica, clasifica una función en par o impar.

Identifica si una función tiene inversa y la calcula

1. La gráfica de una función usando funciones básicas, desplazamientos verticales y horizontales.

2. La gráfica de una función usando funciones básicas, alargamientos y reflexiones verticales y horizontales

3. El cálculo del Dominio, Rango, Interceptos.

4. La determinación si la gráfica de una FUNCIÓN es inyectiva y, si por lo tanto tiene

Inversa.

El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita

RECURSOS PEDAGOGICOS

Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.

GRADO: ONCE

PERIODO: TERCERO

INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales

DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

LIMITES.

Definición, ejemplos, ejercicios

Continuidad,

Teorema del valor intermedio.

DERIVADA.

Recta tangente y normal a una curva.

Velocidad instantánea.

Definición de Derivada.

Reglas de derivación.

Regla de la cadena

Derivada implícita.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar

dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera

flexible y eficaz.

Calcular límites cuando la variable tiende a un valor finito.

Eliminar indeterminaciones

de la forma 0/0.

Determinar la continuidad de una función.

Calcular la derivada de funciones.

Calcula límites cuando la variable tiende a un valor finito.

Elimina indeterminaciones

de la forma 0/0.

Determina la continuidad de una función.

Calcula la derivada de funciones.

1. El cálculo de límites cuando la variable tiende a un valor finito.

2. La eliminación de indeterminaciones de la forma 0/0.

3. La determinación de la continuidad o no de una función.

4. El calcular la derivada de una función real.

El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita

RECURSOS PEDAGOGICOS

GRADO: ONCE

PERIODO: CUARTO

INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales

DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

APLICACIONES

DE LA DERIVADA.

Máximos y mínimos relativos y absolutos.

Números críticos.

Teorema del valor medio y el valor extremo.

Criterios de la primera y segunda derivada

Concavidad.

Problemas de OPTIMIZACIÖN.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.

Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar

dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista

Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera

flexible y eficaz.

Hallar máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.

Obtener valores críticos de una función.

Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Determinar concavidad.

Resolver problemas de Optimización

Halla máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.

Obtiene valores críticos de una función.

Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Determina concavidad.

Resuelve problemas de Optimización

1. Los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.

2. Los valores críticos de una función.

3. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La

Determinación de la concavidad.

4. La solución de problemas de Optimización

El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

RECURSOS PEDAGOGICOS