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Derivación en Cadena

Descripción de la regla

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En boxes los términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si $f\,$ es diferenciable en $x\,$ y $g\,$ es una función diferenciable en $f(x)\,$ , entonces la función compuesta $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ es diferenciable en $x\,$ y

$(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)$

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

$\frac {dg}{dx} = \frac {dg} {df} \frac {df}{dx}$

donde $\frac {dg} {df}$ indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraica

Por ejemplo si $y = f(u)$ es una función derivable de $u$ y si además $u = g(x)$ es una función derivable de $x$ entonces $y = f(g(x))$ es una función derivable con:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

o también

$\frac{d}{dx} [f(g(x))]=f '(g(x))\cdot g'(x)$

Ejemplo 1

$y = \ln {u} \,$

$u = \cos {x} \,$

y queremos calcular:

$\frac{dy}{dx} \,$

Por un lado tenemos:

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} \,$

$\frac{du}{dx} = - \sin{x} \,$

si:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

entonces:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (- \sin{x}) = \frac{- \sin{x}}{u} = \frac{- \sin{x}}{\cos {x}} = -\tan{x}$

Si definimos como función de función:

$y = \ln {u} \,$

$u = \cos {x} \,$

resulta que:

$y = \ln ({\cos {x}}) \,$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}$

con el mismo resultado.

Derivación implícita

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entrex yy por medio de una ecuación no resuelta paray, entoncesy se llama función implícita dex.

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domingo, 7 de noviembre de 2010

derivacion en cadena